落書きノート

ふと自分が気になった事を書いてます

体感する数学 その2

端折って簡単に書いていきます。まず、フィボナッチ数列から書いていきます。

フィボナッチ数列の例えとして、友達と階段の速昇り競争をしたとします。一番上にたどり着くまでの昇り方がみんな違うとします。その階段の昇り方の色々なパターンがフィボナッチ数列だと例えることができます。

7段の階段を、友達と昇ることにして、1段ずつか、1段飛ばし、最初1段昇って残りの段を1段飛ばしで昇るなど、昇り方のパターンは色々あると思います。この昇り方のパターンは何パターンあるか。これをフィボナッチ数列で答えを出すことができます。

端折るために結論から言いますと、フィボナッチ数列とは、前に並んでいる2つの数を足したものが、その次の数になっている数列のことを言います。この法則を利用すれば簡単に答えを出すことができますね。

固有値は、例えとして、パンダの絵が描いてある小さめのセーターを無理やり着てみるとします。絵が左右に伸びてブサイクな顔に変形するもののパンダであることはわかります。その絵がパンダだとわかるというのが固有値です。部分的なヒントから「これは伸びたパンダの絵だ!」とわかる。これが「固有値」のイメージです。

固有値というのは線形変換という現象が起こった時に現れる数のことです。セーターのパンダの絵柄が歪むという現象を、数学では線形変換と表します。数学には「線形」と「非線形」というのがあって、線形のイメージはひもがスルスルッとほどけるようなもの、非線形はひもがこんがらがってほどけないもの、という感じです。

形が歪められるということは、ある方向に向かってある大きさで存在していた「ベクトル」も変化します。ベクトルというのは、回転軸を表したり、粒子が飛んでいく方向を示したり、川の大きな流れの中にある細かい流れの向きを表したりといったことに使います。大きさと方向を持ったものを表現するのがベクトルです。

固有ベクトルは、線形の対象物が変化したときに、その大きさが変わっても、向きは変わらないというものです。

極座標の例えとして、みかんをみかん用の網袋に入れてみるとします。ぺしゃんこの網袋がみかんの形に沿って丸く広がった、その丸いものを入れることができる網、これが極座標です。

球面に沿うように伸びた形の座標を「極座標」と言います。普通よく見るグラフは、X座標とY座標が正方形の形に広がっているものですよね。もう1つXとYに直角に交わるZ座標を作っても同じです。それを「直行座標」、またの名を「デカルト座標」と言います。ちょっと伸びる素材でできたみかんの網袋を、机の上に平たく伸ばしたような形です。

一方、極座標はみかんをいれた状態、つまりデカルト座標を当てて考えるのは大変なので、球に合った座標を作りましょう、ということです。直行座標は距離と距離だけが直行する座標ですが、極座標では距離だけでなく角度が直行します。

ラグランジアンの例えは、全裸になって体重計に乗ってみようということで、服を着ていた時よりも500gくらい軽いとします。そのあなたの本当の体重というイメージがラグランジアンだと言えます。

「自分の本当の体重を知りたい」と思った時、それを正確に測る方法はいくつもあるかもしれません。服を着たまま測って、服の重さを引くというやり方もありますが、その場合は同じ服をもう一式用意しなければならずに、かなり手間ですよね。毎日この方法で体重を測るとなったら、服が変わるごとにそれがもう1枚必要になりますから、かなり非現実的です。ですから、全裸になれる環境の中で全裸で測るのが一番手っ取り早い。でももし、全裸になれる状況がそこになかったら?それならば脱げるギリギリまで脱いで、脱げなかった分の服を用意するという方法もあります。この場合は、すべての服をもう一式揃えるよりは、ずいぶんコストを抑えられるかもしれません。こんなふうに、最終的にはまったく同じものが求まるのですが、その場の状況に合わせた一番都合のよい方法を使う。「ラグランジアン」というのは、そのいくつもある方法のうちの1つということです。

ラグランジアンを使った方程式に「ラグランジュ方程式」というものがあります。この方程式は微分積分を使った式で、現在の物理学の世界では、ニュートン力学をやっていても微分積分を使うことがほとんどです。ラグランジュさんは、幾何学で書かれていたニュートン運動方程式微分積分で書き直したんです。今、物理学科で教わるニュートン力学は、ラグランジュさんたちによる洗練されたバージョンだったんですね。

体感する数学
体感する数学
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